ความเหมือนในความแตกต่าง: ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

การทดลองสุ่ม ( random experiment ) คือการทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่าง การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย
การทอดลูกเต๋า1ลูกถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะยังไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะขึ้นแต้ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6

แซมเปิลสเปซ ( sample space ) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม

ตัวอย่าง เช่น ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ การขึ้นหัวหรือก้อย
จะได้แซมเปิลสเปซ คือ {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} เมื่อ (H,T) หมายถึงเหรียญอันที่ 1 ขึ้นหัว และเหรียญอันที่ 2 ขึ้นก้อย

ในการโยนเหรียญ 2 อัน 1 ครั้ง ถ้ามีผลลัพธ์ที่เราสนใจคือ จำนวนก้อยที่ขึ้น จะได้แซมเปิลสเปซ คือ { 0 , 1 , 2 }

เมื่อ 0 หมายถึงไม่ขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน (นั่นคือขึ้นหัวทั้งสองอัน)

1 หมายถึงขึ้นก้อยเพียง 1 อัน (ขึ้นหัว 1 อัน)

2 หมายถึงขึ้นก้อยทั้ง 2 อัน

เหตุการณ์ ( event ) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ

ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์

คือ โอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สนใจเท่ากับเท่าใด

หลักการหาความน่าจะเป็น

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ซึ่งแต่ละผลลัพธ์ใน S มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆกัน E เป็นสับเซตของ S

ให้ P(E) เป็นสัญลักษณ์แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เราสามารถหา P(E) ได้ดังนี้

ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกแก้วสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกแก้วจากกล่อง 2 ลูก

จงหาเหตุการณ์ที่จะได้ลูกแก้วสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก
เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกแก้วแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา

ดังนั้นเราให้ ข₁ , ข₂ , ข₃ เป็นลูกแก้วสีขาว 3 ลูก และ ด₁ , ด₂ เป็นลูกแก้วสีแดง 2 ลูก

แซมเปิลสเปซ S = { ข₁ข₂ ,ข₁ข₃ , ข₁ด₁ ,ข₁ด₂, ข₂ข₃ , ข₂ด₁ , ข₂ด₂ , ข₃ด₁ , ข₃ด₂ , ด₁ด₂ }

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกแก้วสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก

เหตุการณ์ A = { ข₁ด₁ , ข₁ด₂ , ข₂ด₁ , ข₂ด₂ , ข₃ด₁, ข₃ด₂ }

ตัวอย่าง ความน่าจะเป็นที่ A เรียงเป็นตัวแรก จากการเรียงตัวอักษร 2 ตัวจากอักษร 3 ตัว คือ A , B และ C

S = { AB , BA , AC , CA , BC , CB }

E = { AB , AC }

P(E) =

นั่นคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ A เรียงเป็นตัวแรก =

ตัวอย่าง หยิบลูกบอล 2 ลูกจากกล่องซึ่งมีหมายเลข 1 ถึง 5

จะได้แซมเปิลสเปซ คือ S = { (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3) ,(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) }

E1 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลที่มีหมายเลขเป็นจำนวนคู่ทั้ง 2 ลูก

E1 = { (2,4) }

E2 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคู่

E2 = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }

E3 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งผลบวกของหมายเลขเป็นจำนวนคี่

E3 = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }

E4 แทนเหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกบอลซึ่งหมายเลขเรียงกัน

E4 = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }

E₁ U E₂ = { (1,3) , (1,5) , (2,4) , (3,5) }

P(E₁ U E₂) =

E₁

E₂ = { (2,4) }

P(E₁

E₂) =

E₃ U E₄ = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }

P( E₃ U E₄) =

E₃

E₄ = { (1,2), (2,3) , (3,4) , (4,5) }

P( E₃

E₄) =

E₁ - E₂ = { }

P(E₁ - E₂) = 0

E₂ - E₁ = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }

P(E₂ - E₁ ) =

E₄ ^' = {(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)}

P(E₄^' ) =

E₁^'

E₃^' = ( E₁U E₃ )^'

E₁U E ₃ = { (1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (4,5) }

(E₁U E₃)^'= { (1,3) , (1,5) , (3,5) }

ดังนั้น E₁^'

E₃^' = { (1,3) , (1,5) , (3,5) }

P(E₁^'

E₃^') =

ตัวอย่าง จะจัดนักเรียน 10 คน ซึ่งมีนายสาทิศกับนางสาวสุดาอยู่ด้วย ความน่าจะเป็นที่

ก. นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน

ข. นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน

ค. นายสาทิศอยู่หัวแถวและนางสาวสุดาอยู่ท้ายแถว

1) หา n(S) ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ จัดได้ 10! วิธี

หา n(E) E_ก นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน จัดได้ ( 9! X 2! )

P(E_ก) =

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งติดกัน เท่ากับ

2) หา n(E) ให้ E_ข นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกัน จัดได้ 10! - (9! 2!) วิธี

P(E_ข) =

= 1 -

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศกับนางสาวสุดาจะนั่งแยกกันเท่ากับ

3) หา n(E) ให้ E_ค นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว จัดได้ 1 X 8! X 1 วิธี

P(E_ค) =

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นายสาทิศอยู่หัวแถวนางสาวสุดาท้ายแถว เท่ากับ

ตัวอย่าง ถุงใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 10 ลูกเป็นสีแดง 5 ลูก สีน้ำเงิน 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก ถ้าหยิบลูก

บอลอย่างสุ่มออกมา 2 ลูก

จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน

ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน

1) หา n(S) คือหาจำนวนวิธีที่จะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการหยิบบอล 2 ลูกจาก 10 ลูก

จำนวนวิธีที่จะเกิดได้ =

= 45 วิธี

2) หา n(E) E เป็นเหตุการณ์ที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน

กรณีที่ 1 สีแดงทั้งคู่ จำนวนวิธี =

= 10 วิธี

กรณีที่ 2 สีน้ำเงินทั้งคู่ จำนวนวิธี =

= 3 วิธี

กรณีที่ 3 สีเขียวทั้งคู่ จำนวนวิธี =

1 วิธี

n(E) จำนวนวิธีทั้งหมดที่ลูกบอลทั้ง 2 ลูก มีสีเหมือนกัน = 10 + 3 + 1 = 14 วิธี

ความน่าจะเป็นที่ P(E) =

กฎสำคัญบางประการของความน่าจะเป็น

ให้ A เป็นเหตุการณ์ใดๆ และ S เป็นแซมเปิลสเปช สมบัติความน่าจะเป็นของ A ดังนี้

1. 0

P(A)

2. ถ้า A = { } แล้ว P(A) = 0 นั่นคือ P( { } ) = 0

3. ถ้า A = S แล้ว P(A) = 1 นั่นคือ P( S ) = 1

สมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ใน S แซมเปิลสเปซ

1. P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A

2. P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A

B = { }

3. P(A) = 1 - P(A^')

4. P(A-B) = P(A) - P(A

ตัวอย่าง กำหนดให้ P(A) = 0.6 P(B^') = 0.4 และ P(A - B) = 0.2 จงหา P(A ^' B^')

จาก P(B' ) = 0.4
จะได้ว่า P(B) = 1 - P(B^') = 1 - 0.4 = 0.6

จาก P(A) = 0.6 และ P(A - B) = 0.2

เนื่องจาก P(A) = P(A - B) + P(A

( ถ้านักเรียนไม่เข้าใจให้เขียนแผนภาพทางด้านเซตดู )

0.6 = 0.2 + P(A

P(A

B) = 0.4

เนื่องจาก P(A^'

B^') = P( A U B)^'

= 1 - P(A U B)

จากสมบัติความน่าจะเป็น P(A^'

B^') = 1 - [ P(A) + P(B) - P(A

B) ]

= 1 - [ 0.6 + 0.6 - 0.4] = 1 - 0.8 = 0.2

ตัวอย่าง จากการสำรวจในหมู่บ้านหนึ่ง ได้ผลว่าความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ทำสวนยางเท่า

กับ 0.5 ความน่าจะเป็นของครอบครัวที่ขุดบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.7 และความน่าจะเป็น

ของครอบครัวที่ทำสวนยาง และมีบ่อเลี้ยงปลาเท่ากับ 0.3 ถ้าเลือกครอบครัวขึ้นมา 1

ครอบครัวอย่างสุ่ม จงหาความน่าจะเป็นของครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยาง ดังนั้น P(A) = 0.5

B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวขุดบ่อเลี้ยงปลา ดังนั้น P(B) = 0.7

B เป็นเหตุการณ์ที่ครอบครัวทำสวนยางและขุดบ่อเลี้ยงปลา

P(A

B) = 0.3

P(A

B) = P(A) + P(B) - P(A

= 0.5 + 0.7 - 0.3 = 0.9

ความน่าจะเป็นของครอบครัวทำสวยยางหรือเลี้ยงปลา เท่ากับ 0.9

ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

บางครั้งเราทราบว่าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เราต้องการหาความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น เรียกความน่าจะเป็นแบบนี้ว่า ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข

ให้ A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที่ P(B) > 0 เขียน P(A/B) แทนความน่าจะเป็นของ A เมื่อกำหนดว่าเหตุการณ์ B เกิดขึ้นแล้ว
และให้ P(A/B) =

ถ้า P(B) = 0 ให้ P(A/B) = 0

ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหน้าน้อยกว่า 4 ถ้ารู้แล้วว่าขึ้นหน้าเลขคี่

ให้ B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่

A แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าน้อยกว่า 4

B แทนเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าขึ้นหน้าเลขคี่ และน้อยกว่า 4

P(B) =

เนื่องจากมี 1 และ 3 เท่านั้นที่เป็นเลขคี่ และน้อยกว่า 4

ดังนั้น P(A

B) =

เพราะฉะนั้น P(A/B) =

ตัวอย่าง กล่องใบหนึ่งมีลูกหินสีขาว 3 ใบ และสีดำ 2 ใบ ถ้าหยิบลูกแรกแล้วไม่ใส่คืน จงหาความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินสีดำทั้งสองลูก

วิธีที่ 1 หยิบครั้งแรกมีวิธีเลือกได้ 5 วิธี ครั้งที่สองมีวิธีเลือก 4 วิธี

ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 5 X 4 = 20 วิธี

หยิบลูกหินสีดำครั้งแรกมี 2 วิธี ครั้งที่สองมี 1 วิธี

ดังนั้น มีวิธีเลือกทั้งหมด 2 X 1 = 2 วิธี

ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินดำทั้งคู่ โดยที่หยิบครั้งแรกแล้วไม่ใส่คืน เท่ากับ

วิธีที่ 2 ให้ A เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกแรกสีดำ และ

B เป็นเหตุการณ์หยิบลูกหินลูกที่สองสีดำ

P(A) =

P(B/A) =

ดังนั้น P(

B) = P(A) P(B/A)

= (

) (

) =

ตัวอย่าง ในการทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะขึ้น 4 , 5 หรือ 6 ในการทอดครั้งแรกและขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4 ในการทอดครั้งที่ 2

วิธีที่ 1 ให้ A เป็นเหตุการณ์ ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งแรก ขึ้น 4 , 5 หรือ 6

B เป็นเหตุการณ์ ซึ่งทอดลูกเต๋าครั้งที่สอง ขึ้น 1 , 2, 3 หรือ 4

ทอดครั้งแรกมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี ทอดครั้งที่สองมีหน้าที่จะเกิดได้ 6 วิธี

ดังนั้น มีวิธีเกิดได้ทั้งหมด 6 X 6 = 36 วิธี

ทอดครั้งแรกได้เหตุการณ์ A มี 3 วิธี ทอดครั้งที่สองได้เหตุการณ์ B มี 4 วิธี

ดังนั้นทอดได้เหตุการณ์ A และ B มี 3 X 4 = 12 วิธี

เพราะฉะนั้น P(A

B) =

วิธีที่ 2 P(A) =

P(B/A) = P(B) =

P(A

B) = P(A) P(B/A)

= (

) (

) =

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกัน

พิจารณาในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง จะเห็นว่าการที่การโยนเหรียญครั้งหนึ่งขึ้นหัวหรือก้อย ไม่มีผลต่อการขึ้นหัวหรือก้อยในการโยนครั้งที่สอง
เรากล่าวว่าการโยนทั้งสองครั้งเป็นอิสระต่อกัน
นิยาม เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A

B) = P(A) P(B)
ทฤษฎีบท เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(A/B) = P(A)

เหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ P(B/A) = P(B)

ตัวอย่าง โยนลูกเต๋า 2 ลูก 2 ครั้ง จงหาความจะเป็นที่ผลรวมของแต้มแต่ละครั้งเท่ากับ 5

ให้ A แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 1 เป็น 5

B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมของแต้มในการโยนครั้งที่ 2 เป็น 5

จะได้ P(A) =